【導(dǎo)讀】關(guān)于串?dāng)_，之前發(fā)布過(guò)兩篇文章，但都淺嘗輒止，本文試圖從串?dāng)_的根本原理出發(fā)，重新探討串?dāng)_話題，為高級(jí)篇。
關(guān)于串?dāng)_，之前發(fā)布過(guò)兩篇文章，但都淺嘗輒止，本文試圖從串?dāng)_的根本原理出發(fā)，重新探討串?dāng)_話題，為高級(jí)篇。
提到串?dāng)_，對(duì)于大多數(shù)信號(hào)完整性工程師來(lái)說(shuō)，首先想到的應(yīng)該就是圖1所示的典型的串?dāng)_原理圖和圖2所示的典型的串?dāng)_波形。
圖1典型的串?dāng)_原理圖
圖2典型的串?dāng)_波形
從侵入線（Aggressor）的發(fā)送端注入一個(gè)具有快速上升沿的階躍信號(hào)，經(jīng)過(guò)td到達(dá)侵入線的接收端，在受害線（Victim）的兩端分別觀測(cè)到耦合造成的近端串?dāng)_（Near End Crosstalk，NEXT）和遠(yuǎn)端串?dāng)_（Far End Crosstalk，F(xiàn)EXT）。對(duì)于無(wú)損傳輸線，當(dāng)耦合長(zhǎng)度大于飽和長(zhǎng)度時(shí)，近端串?dāng)_系數(shù)為Kb ，遠(yuǎn)端串?dāng)_系數(shù)為Kf ，分別表示為公式(1)和公式(2)，其中 代表信號(hào)在傳輸線中的傳輸速度。
在此有兩個(gè)疑問(wèn)：
1、經(jīng)典的串?dāng)_分析都是注入的信號(hào)為一個(gè)具有快速上升沿的階躍信號(hào)，如果將階躍信號(hào)替換為任意波形，那么得到的串?dāng)_波形會(huì)是什么？
2、為什么近端串?dāng)_系數(shù)中的常系數(shù)是1/4，而遠(yuǎn)端串?dāng)_系數(shù)中的常系數(shù)為1/2？
帶著這兩個(gè)疑問(wèn)，我們重讀串?dāng)_的基本原理，試圖找到答案。
1、波的傳播
函數(shù)為f(t)的波，從原點(diǎn)出發(fā)沿+Z方向傳輸，波的傳播速度為v ，經(jīng)過(guò)時(shí)間t0到達(dá)Z0，此時(shí)波的函數(shù)表示為f(t-t0)=f(t-z0/v)。 隨時(shí)間增加而增加，f(t)沿+Z方向持續(xù)移動(dòng)，因此沿 軸傳輸?shù)牟ǖ暮瘮?shù)可以用公式(3)來(lái)描述，公式(3)中包含兩個(gè)變量：時(shí)間t 和位置z 。V(z,t)=f(t-z/v)
(3)
用數(shù)學(xué)的方法對(duì)公式(3)求偏微分得到一系列的方程有:
在后續(xù)求解串?dāng)_波形函數(shù)時(shí)需要用到這些公式。聯(lián)立式(5)與式(7)就能得到大家熟悉的波動(dòng)方程[1]，即
2、互感與互容
串?dāng)_在電磁場(chǎng)中表現(xiàn)為相鄰傳輸線間的磁場(chǎng)耦合和電場(chǎng)耦合；在電路中分別采用互感和互容來(lái)描述磁場(chǎng)耦合和電場(chǎng)耦合的大小。
1）互感
互感如圖3所示，自感與互感所導(dǎo)致的電壓與電流之間的關(guān)系用方程描述為式(9)。
方程組(9)表示為矩陣形式為公式(10)，公式(10)中的電感矩陣中的Lii為自電感,Lij為互感。
2）互容
互容如圖4所示，自電容與互電容所導(dǎo)致的電壓與電流之間的關(guān)系用方程描述為式(11)。
方程組(11)表示為矩陣形式為公式(12)，公式(12)中的電容矩陣中的Cii 為總電容,Cij為互容。
3. 感性耦合
特征阻抗均為Z0的一對(duì)相鄰無(wú)損傳輸線間單位長(zhǎng)度的互感量為L(zhǎng)m (Lm=L12=L21)，單位長(zhǎng)度的自電感為L(zhǎng)0(L0=L11=L22)。感性耦合機(jī)制如圖5所示。在dz 長(zhǎng)度的線段上由于入侵線中電流的變化通過(guò)感性耦合在相應(yīng)長(zhǎng)度的受害線線段兩端形成的電壓dVl 由式(13)表示。類似于耦合變壓器，受害線中耦合信號(hào)傳輸方向與入侵線中信號(hào)方向相反.dVl作用在均勻傳輸線上所形成的反向耦合電壓dVlb 與前向耦合電壓dVlf 大小相等方向相反，用式(14)表示。
4. 容性耦合
特征阻抗均為Z0的一對(duì)相鄰無(wú)損傳輸線間單位長(zhǎng)度的互容量為Cm (Cm=C12=C21)，單位長(zhǎng)度的總電容為C0(C0=C11=C22)。容性耦合機(jī)制如圖6所示。在dZ 長(zhǎng)度的線段上由于入侵線中電壓的變化通過(guò)容性耦合流向受害線的耦合電流大小dic 由式(15)表示。耦合電流分為反向耦合電流dicb 和前向耦合電流dicf ，兩者大小相等方向相反，分別作用于均勻傳輸線上，產(chǎn)生的反向耦合電壓dvcb 與前向耦合電壓dvcf 用式(17)表示。
3、串?dāng)_
1）遠(yuǎn)端串?dāng)_
遠(yuǎn)端串?dāng)_也稱前向串?dāng)_，其前向傳輸時(shí)延與入侵信號(hào)傳輸時(shí)延同步，到達(dá)前向終端的電壓幅度為每一微小線段dZ所產(chǎn)生的前向耦合電壓的疊加，用式(18)表示。
2）近端串?dāng)_
近端串?dāng)_也稱反向串?dāng)_，近端的輸出波是早期耦合波反向傳播的疊加，耦合波的傳輸距離是2倍的耦合線長(zhǎng)。每一微小線段dZ所產(chǎn)生的反向耦合電壓傳輸?shù)绞芎€的近端終端的波形函數(shù)同時(shí)為時(shí)間和位置相關(guān)的函數(shù)。近端耦合波形函數(shù)用式(22)表示。
從式(23)中不難發(fā)現(xiàn)，近端串?dāng)_波形是入侵線上注入的波形與注入波形延時(shí)2td 后所形成波形的差值再乘上近端串?dāng)_系數(shù)。
若入侵線上注入的波形為快速上升沿，上升時(shí)間為tr，電壓幅度為V1 ，則近端串?dāng)_波形就是大家熟知的梯形脈沖，階躍脈沖所造成的近端串?dāng)_與遠(yuǎn)端串?dāng)_的計(jì)算波形如圖7所示，其中NEXT_Math和FEXT_Math分別為采用公式(19)和公式(23)計(jì)算得到的近端串?dāng)_與遠(yuǎn)端串?dāng)_波形，計(jì)算所得到的波形與仿真所得到的波形有很高的吻合度。
圖7 階躍脈沖造成的近端串?dāng)_與遠(yuǎn)端串?dāng)_
若入侵線上注入的波形為方波或者正弦波，并且2倍的傳輸時(shí)延td為脈沖周期 的整數(shù)倍，即公式(25)時(shí)，疊加得到的近端串?dāng)_幅度會(huì)在2td后抵消為0。對(duì)于傳輸時(shí)延為500ps的傳輸線，1GHz方波所造成的近端串?dāng)_與遠(yuǎn)端串?dāng)_波形如圖8所示。但如果2倍的傳輸時(shí)延td為脈沖周期T一半的奇數(shù)數(shù)倍，即公式(26)時(shí)，疊加得到的近端串?dāng)_幅度在 后加倍。對(duì)于傳輸時(shí)延為500ps的傳輸線，1.5GHz方波所造成的近端串?dāng)_與遠(yuǎn)端串?dāng)_波形如圖9所示。
圖8 1GHz方波造成的近端串?dāng)_與遠(yuǎn)端串?dāng)_
圖9 1.5GHz方波造成的近端串?dāng)_與遠(yuǎn)端串?dāng)_
4、小結(jié)
1. 遠(yuǎn)端串?dāng)_的幅度同入侵線注入波形的電壓變化率相關(guān)。
2. 均勻介質(zhì)中的傳輸線遠(yuǎn)端串?dāng)_為0。
3. 近端串?dāng)_系數(shù)中1/4中的1/2 表示耦合波的傳輸距離是2倍的耦合線長(zhǎng)。
4. 合適的耦合長(zhǎng)度可以減少連續(xù)脈沖信號(hào)造成的近端串?dāng)_。
（來(lái)源：信號(hào)完整性之旅，作者：王彥武）
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